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100个经典的动态规划方程


1.资源问题1—–机器分配问题

F[I,j] = max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

 

2.资源问题2——01背包问题

F[I,j] = max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

 

3.线性动态规划1—–朴素最长非降子序列

F = max{f[j]+1}

 

4.剖分问题1—–石子合并

F[i,j] = min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

 

5.剖分问题2—–多边形剖分

F[I,j] = min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

 

6.剖分问题3——乘积最大

f[i,j] = max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

 

7.资源问题3—–系统可靠性(完全背包)

F[i,j] = max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

 

8.贪心的动态规划1—–快餐问题

F[i,j,k] = max{f[i-1,j’,k’]+(T-(j-j’)*p1-(k-k’)*p2)div p3} 

 

9. 贪心的动态规划2—-过河

f=min{{f(i-k)} (not stone) 

{f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

 

10.剖分问题4—–多边形-讨论的动态规划

F[i,j] = max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];

        负负 g[I,k]*f[k+1,j];

        正负 g[I,k]*f[k+1,j];

        负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min

 

11. 树型动态规划1—–加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

F[I,j] = max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

 

12.树型动态规划2—–选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)

F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分

f[i,j] = max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

 

13.计数问题1—–砝码称重

f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];

(1<=i<=n; 1<=j<=f[0];1<=k<=a;)

 

14.递推天地1——核电站问题

f[-1] = 1; f[0] = 1;                       

f = 2*f[i-1]-f[i-1-m]        

 

15.递推天地2——数的划分

f[i,j] = f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

 

16.最大子矩阵1—–一最大01子矩阵

f[i,j] = min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;   

ans = maxvalue(f);                           

 

17.判定性问题1—–能否被4整除

g[1,0] = true; g[1,1] = false; g[1,2] = false;g[1,3] = false;

g[i,j] = g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 =j)

 

18.判定性问题2—–能否被k整除

f[I,j±n mod k] = f[i-1,j];      -k<=j<=k; 1<=i<=n

 

20.线型动态规划2—–方块消除游戏

f[i,i-1,0] = 0

f[i,j,k] = max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),

f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}

ans = f[1,m,0]

 

21.线型动态规划3—–最长公共子串,LCS问题

f[i,j]={0(i=0)&(j=0);

       f[i-1,j-1]+1       (i>0,j>0,x=y[j]);

       max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

 

22.最大子矩阵2—–最大带权01子矩阵

O(n^2*m) 枚举行的起始,压缩进数列,求最大字段和,遇0则清零

 

23.资源问题4—–装箱问题(判定性01背包)

f[j] = (f[j] or f[j-v]);

 

24.数字三角形1—–朴素の数字三角形

f[i,j] = max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

 

25.数字三角形2—–晴天小猪历险记之Hill

同一阶段上暴力动态规划

if[i,j] = min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

 

26.双向动态规划1数字三角形3

—–小胖办证

f[i,j] = max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

 

27. 数字三角形4—–过河卒

//边界初始化

f[i,j] = f[i-1,j]+f[i,j-1];

 

28.数字三角形5—–朴素的打砖块

f[i,j,k] = max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

 

29.数字三角形6—–优化的打砖块

f[I,j,k] = max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

 

30.线性动态规划3—–打鼹鼠’

f = f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

 

31.树形动态规划3—–贪吃的九头龙

32.状态压缩动态规划1—–炮兵阵地

Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])

If (map and plan[k]=0) and

    ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

 

33.递推天地3—–情书抄写员

f = f[i-1]+k*f[i-2]

 

34.递推天地4—–错位排列

f = (i-1)(f[i-2]+f[i-1]);

f[n] = n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

 

35.递推天地5—–直线分平面最大区域数

f[n] = f[n-1]+n

     = n*(n+1) div 2 + 1;

 

36.递推天地6—–折线分平面最大区域数

f[n] = (n-1)(2*n-1)+2*n;

 

37.递推天地7—–封闭曲线分平面最大区域数

f[n] = f[n-1]+2*(n-1)

     = sqr(n)-n+2;

38.递推天地8—–凸多边形分三角形方法数

f[n] = C(2*n-2,n-1) div n;

对于k边形

f[k] = C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

 

39.递推天地9—–Catalan数列一般形式

1,1,2,5,14,42,132

f[n] = C(2k,k) div (k+1);

 

40.递推天地10—–彩灯布置

排列组合中的环形染色问题

f[n] = f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1);   (f[1] = m; f[2] = m(m-1);

 

41.线性动态规划4—–找数

线性扫描

sum = f+g[j];

(if sum=Aim then getout; if sum<Aim theninc(i) else inc(j);)

 

42.线性动态规划5—–隐形的翅膀

min = min{abs(w/w[j]-gold)};

   if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

 

43.剖分问题5—–最大奖励

f = max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

 

44.最短路1—–Floyd

f[i,j] = max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

ans[q[i,j,k]] = ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];

 

45.剖分问题6—–小H的小屋

F[l,m,n] = f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

 

46.计数问题2—–陨石的秘密(排列组合中的计数问题)

Ans[l1,l2,l3,D] = f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];

F[l1,l2,l3,D] = Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

 

47.线性动态规划——合唱队形

两次F = max{f[j]+1}+枚举中央结点

 

48.资源问题—–明明的预算方案:加花的动态规划

f[i,j] = max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

 

49.资源问题—–化工场装箱员


50.树形动态规划—–聚会的快乐

f[i,2] = max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1] = sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0] = sigma(f[t^.son,3]);

 

51.树形动态规划—–皇宫看守

f[i,2] = max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1] = sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0] = sigma(f[t^.son,3]);

 

52.递推天地—–盒子与球

f[i,1] = 1;

f[i,j] = j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

 

53.双重动态规划—–有限的基因序列

f = min{f[j]+1}

g[c,i,j] = (g[a,i,j] and g[b,i,j]) or(g[c,i,j])

 

54.最大子矩阵问题—–居住空间

f[i,j,k] = min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),

       min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),                         min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]), f[i-1,j-1,k-1]))+1;

 

55.线性动态规划——日程安排

f = max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

 

56.递推天地——组合数

C[I,j] = C[i-1,j]+C[I-1,j-1]

C[I,0] = 1

 

57.树形动态规划—–有向树k中值问题

F[I,r,k] = max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

 

58.树形动态规划—–CTSC 2001选课

F[I,j] = w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(ifl<>0)

 

59.线性动态规划—–多重历史

f[i,j] = sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60.背包问题(+-1背包问题+回溯)—–CEOI1998 Substract

f[i,j] = f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

 

61.线性动态规划(字符串)—–NOI2000 古城之谜

f[i,1,1] = min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2] = min{f[i+length(s),1,2] +words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

 

62.线性动态规划—–最少单词个数

f[i,j] = max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

 

63.线型动态规划—–APIO2007 数据备份

状态压缩+剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划

f = min(g[i-2]+s,f[i-1]);

 

64.树形动态规划—–APIO2007 风铃

f = f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}

g = 1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])

g[l]=g[r]=1 then Halt;

 

65.地图动态规划—–NOI 2005 adv19910

F[t,i,j] = max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

 

66.地图动态规划—–优化的NOI 2005adv19910

F[k,i,j] = max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<=p<=j;

 

67.目标动态规划—–CEOI98 subtra

F[I,j] = f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

 

68.目标动态规划—– Vijos 1037搭建双塔问题

F[value,delta] = g[value+a,delta+a] org[value,delta-a]

 

69.树形动态规划—–有线电视网

f[i,p] = max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])

          leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

 

70.地图动态规划—–vijos某题

F[I,j] = min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

 

71.最大子矩阵问题—–最大字段和问题

f = max(f[i-1]+b,b); f[1] = b[1]

 

72.最大子矩阵问题—–最大子立方体问题

枚举一组边i的起始,压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]

枚举另外一组边的其实,做最大子矩阵

 

73.括号序列—–线型动态规划

f[I,j] = min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),

f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] ,f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

 

74.棋盘切割—–线型动态规划

f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],

f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]

min{}}

 

75.概率动态规划—–聪聪和可可(NOI2005)

x = p[p[i,j],j]

f[I,j] = (f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1

f[I,i]=0

f[x,j]=1

 

76.概率动态规划—–血缘关系

F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2

f[I,i]=1

f[I,j]=0(I,j无相同基因)

 

77.线性动态规划—–决斗

F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] ore[j,k]),i<k<j

 

78.线性动态规划—–舞蹈家

F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

 

79.线性动态规划—–积木游戏

F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

 

80.树形动态规划(双次记录)—-NOI2003 逃学的小孩

朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)

每个节点记录最大的两个值,并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候,只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是,就取次大,否则取最大值

 

81.树形动态规划(完全二叉树)—–NOI2006网络收费

F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中,有j个用户为A,在I的每个祖先u上,如果N[a]>N则标0否则标1,用二进制状态压缩进k中,在这种情况下的最小花费

F[I,j,k] = min{f[l,u,k and(s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

 

82.树形动态规划—–IOI2005 河流

F = max

 

83.记忆化搜索—–Vijos某题,忘了

F[pre,h,m] = sigma{SDP(I,h+1,M+i)}(pre<=i<=M+1)

 

84.状态压缩动态规划—–APIO 2007 动物园

f[I,k] = f[i-1,k and not (1<<4)] +NewAddVal

 

85.树形动态规划—–访问术馆

f[i,j-c×2] = max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

 

86.字符串动态规划—–Ural 1002 Phone

if exist(copy(s,j,i-j)) then f = min(f,f[j]+1);

 

87.多进程动态规划—–CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )

Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )

Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

 

88.多进程动态规划—–Vijos1143 三取方格数

max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);

if (j=k) and (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else

if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l])else

if (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

if (j=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

 

89.线型动态规划—–IOI 2000 邮局问题

f[i,j] = min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

 

90.线型动态规划—–Vijos 1198 最佳课题选择

if j-k>=0 thenMin(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));

 

91.背包问题—– USACO Raucous Rockers

多个背包,不可以重复放物品,但放物品的顺序有限制。

          F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包,此背包花费了k的空间。

f[I,j,k] = max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

 

92.多进程动态规划—–巡游加拿大(IOI95、USACO)

d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] &j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发,一个人到达i,另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i],所以我们限制i>j

分析状态(i,j),它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到(方式1),也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到(方式2)。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到,因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径,那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到,所以不会遗漏解时间复杂度O(n3)

 

93.动态规划—–ZOJ cheese

f[i,j] = f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

 

94.动态规划—–NOI 2004 berry 线性

F[I,1] = s

F[I,j] = max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

 

95.动态规划—–NOI 2004 berry 完全无向图

F[I,j] = f[i-1,j] or (j≥w) and(f[i-1,j-w])

 

96.动态规划—–石子合并 四边形不等式优化

m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]  

 

97.动态规划—–CEOI 2005 service

(k≥long,i≥1)g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1,g[i-1,j,k]}

(k<long,i≥1) g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1,g[i-1,j,k]}

(0≤j≤m, 0≤k<t)g[0,j,k]=0;

ans = g[n,m,0]。

状态优化:g[i, j]=min{g[i-1,j],g[i-1,j-1]+long}

其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为:

当b+long ≤t时: a’=a;       b’=b+long;

当b+long >t时: a’=a+1;   b’=long;

规划的边界条件:

当0≤i≤n时,g[i,0]=(0,0)

 

98.动态规划—–AHOI 2006宝库通道

f[k] = max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1],x[k,j]-x[k,i-1]}

 

99.动态规划—–Travel

A) 费用最少的旅行计划。

设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用;g表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么:

f=f[x]+v,   g=g[x]+1

x满足:

1、x<i,且d – d[x] <=800(一天的最大行程)。

2、对于所有的t < i, d – d[t] <=800,都必须满足:

A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时)     B. f[x] < f[t] (其他情况)

f[0] = 0,g[0] = 0。 Ans = f[n +1],g[n+1]。

 

B). 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。

设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数;f’表示从起点到第i个旅店住宿一天,在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么:

g’ = g’[x] + 1,    f’ = f’[x] + v

x满足:

1、x<i,且d – d[x] <=800(一天的最大行程)。

2、对于所有的t < i, d – d[t] <=800,都必须满足:

f’[x] < f’[t]       g’[x] = g’[t]时

g’[x] < g’[t]        其他情况

f’[0] = 0,g’[0] = 0。 Ans = f’[n + 1],g’[n+1]。

 

100.动态规划—–NOI 2007 cash

y = f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);

g = c[j]*y*a+y*b;

f = max(f,g)


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